PEMROGRAMAN LINEAR METODE GRAFIK

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG MASALAH Operational research (riset operasi) merupakan penerapan beberapa metode ilmiah yang membantu memecahkan permasalahan rumit yang muncul dalam kehidupan sehari-hari yang kemudian diintepretasikan kedalam permodelan matematis guna mendapatkan informasi solusi yang optimal. Operational research juga banyak digunakan untuk mengambil keputusan yang logis serta dapat dijelaskan secara kuantitatif. Pendekatan khusus ini bertujuan membentuk suatu metode ilmiah dari sistem menggabungkan ukuran-ukuran faktor-faktor seperti kesempatan dan risiko, untuk meramalkan dan membandingkan hasil-hasil dari beberapa keputusan, strategi atau pengawasan. Karena keputusan dalam riset operasi dapat berkaitan dengan biaya relevan, dimana semua biaya yang terkaitan dengan keputusan itu harus dimasukkan, kualitas baik dipengaruhi oleh desain produk atau cara produk dibuat, kehandalan dalam suplai barang dan jasa, kemampuan operasi untuk membuat perubahan dalam desain produk atau kapasitas produksi untuk menyesuaikan diri terhadap perubahan yang terjadi. Hubungan operational research (riset operasi) dengan progam linier secara umum adalah program linier merupakan salah satu teknik menyelesaikan riset operasi, dalam hal ini adalah khusus menyelesaikan masalah-masalah optimasi (memaksimalkan atau memininumkan) tetapi hanya terbatas pada masalah-masalah yang dapat diubah menjadi fungsi linear. Secara khusus, persoalan program linear merupakan suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel sehingga nilai fungsi tujuan atau objektif yang linear menjadi optimum (memaksimalkan atau meminimumkan) dengan memperhatikan adanya kendala yang ada, yaitu kendala yang harus dinyatakan dalam bentuk ketidaksamaan yang linear. Banyak sekali keputusan utama dihadapi oleh seorang manajer perusahaan untuk mencapai tujuan perusahaan dengan batasan situasi lingkungan operasi. Pembatasan tersebut meliputi sumberdaya misalnya waktu, tenaga kerja, energi, bahan baku, atau uang. Secara umum, tujuan umum perusahaan yang paling sering terjadi adalah sedapat mungkin memaksimalkan laba. Tujuan dari unit organisasi lain yang merupakan bagian dari suatu organisasi biasanya meminimalkan biaya. Saat manajer berusaha untuk menyelesaikan masalah dengan mencari tujuan yang dibatasi oleh batasan tertentu, teknik sains manajemen berupa program linear sering digunakan untuk permasalahan ini. Linear programming sebetulnya sudah lahir pada tahun 1939 oleh seorang ahli matematika Rusia bernama L. V. Kantorovich dengan metode yang terbatas. Akan tetapi, di Rusia ide ini tidak berkembang. Kemudian, pada tahun 1947 seorang ahli matematika dari Amerika Serikat yaitu George B. Dantzig mengembangkan dan menemukan cara memecahkan pemrograman linear tersebut dengan “metode simpleks” (Supranto,1983). Pada saat memimpin Air Force Statistical Control's Combat Analysis Branch di Pentagon. Pada saat Dentzig menganalisis masalah perencanaan Air Force, dia menyadari merumuskan sistem ketidaksamaan linear, hal di atas merupakan awal pemberian nama untuk teknik "program dalam struktur linear", yang belakangan disederhanakan menjadi program linear. Terdapat tiga tahap dalam penggunaan teknik program linear. Pertama, masalah harus dapat diidentifikasi sebagai sesuatu yang dapat diselesaikan dengan program linear. kedua, masalah uang tidak tersturktur harus dapat dirumuskan dalam model matematika, sehingga menjadi terstruktur. Ketiga, model harus diselesaikan dengan teknik matematika yang telah dibuat. Teknik program linear menggambarkan bahwa hubungan fungsi linear dalam model matematika yang penyelesaiannya telah ditetapkan dalam langkah-langkah matematika yang disebut program. Sehingga, program linear merupakan model yang terdiri dari hubungan linear yang menggambarkan keputusan perusahaan dengan suatu tujuan dan batasan sumberdaya. Maka, model program linear terdiri dari variabel keputusan, fungsi tujuan dan batasan-batasan. B. TUJUAN PENULISAN Agar mahasiswa dapat lebih memahami mengenai pemprograman linear dan aplikasi dari teori pemprograman linear tersebut. Dan diharapkan pula informasi ini dapat menjadi acuan dalam pembelajaran materi pemprograman linear. C. RUMUSAN MASALAH Adapun makalah ini disusun dengan rumusan masalah sebagai berikut : • Apakah yang dimaksud dengan Linear Programming ? • Apa sajakah komponen model dari program linear ? • Apa saja yang menjadi asumsi dasar program linear ? • Apa yang menjadi fungsi dasar dari program linear metode grafik ? • Bagaimana contoh soal dan penyelesaian fungsi maksimalisasi keuntungan dan minimalisasi biaya ? • Bagaimana suatu perusahaan mengaplikasikan program linear dalam rangka mengendalikan biaya produksinya ? BAB II PEMBAHASAN A. PEMROGRAMAN LINEAR Program linear adalah suatu cara matematis yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pengalokasian sumberdaya yang terbatas untuk mencapai optimasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergabung pada sejumlah variabel input. Penerapan program linear banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, sosial dan lain-lainnya, misalnya periklanan, industri manufaktur (penggunaan tenagakerja kapasitas produksi dan mesin), distribusi dan pengangkutan, dan perbankan (portofolio investasi). Program linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linear dengan beberapa kendala linear. Pemrograman linear merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Pemrograman linear banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. Pemrograman linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linear dengan beberapa kendala linear. Pemrograman linear meliputi perencanaan aktivitas untuk mendapatkan hasil optimal, yaitu sebuah hasil yang mencapai tujuan terbaik (menurut model matematika) diantara semua kemungkinan alternatif yang ada. B. FORMULASI MODEL Masalah keputusan yang biasa dihadapi para analis adalah alokasi optimum sumber daya yang langka. Sumber daya dapat berupa modal, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan atau teknologi. Tugas analis adalah mencapai hasil terbaik yang mungkin dengan keterbatasan sumber daya ini. Hasil yang diinginkan mungkin ditunjukkan sebagai maksimasi dari beberapa ukuran seperti profit, penjualan dan kesejahteraan, atau minimasi seperti biaya, waktu dan jarak. Setelah masalah diidentifikasikan, tujuan diterapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematik yang meliputi tiga tahap : 1. Menentukan variabel yang tak diketahui (variabel keputusan) dan menyatakan dalam simbol matematik. 2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier (bukan perkalian) dari variabel keputusan. 3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan dan pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumberdaya masalah itu. Pembentukan model bukanlah suatu ilmu pengetahuan tetapi lebih bersifat seni dan akan menjadi dimengerti terutama karena praktek. C. ASUMSI-ASUMSI DASAR PROGRAM LINEAR Asumsi-asumsi dasar atau Karakteristik Pemrograman Linear adalah sebagai berikut: • Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, cara ini dapat diperiksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar). • Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi. • Sifat aditivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang di antara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat aditivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat aditivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. • Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan. • Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstan. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu. D. MODEL PEMROGRAMAN LINEAR Terdapat dua fungsi dalam program linear metode grafik, yaitu fungsi maksimisasi dan fungsi minimisasi. 1. Fungsi Tujuan Maksimisasi Sebagai contoh dalam memformulasikan permasalahan, berikut ini akan dibahas perusahaan Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh dari satu unit meja adalah $7.00 sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah $5.00. Namun untuk meraih keuntungan tersebut Krisna Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah jam kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum? Dari kasus di atas dapat diketahui bahwa tujuan perusahaan adalah memaksimumkan profit. Sedangkan kendala perusahaan tersebut adalah terbatasnya waktu yang tersedia untuk pembuatan dan pengecatan. Apabila permasalahan tersebut diringkas dalam satu tabel akan tampak sebagai berikut: Jam Kerja Untuk Membuat 1 Unit Produk Total Waktu Tersedia Per Minggu Meja Kursi Pembuatan 4 2 240 Pengecatan 2 1 100 Profit Per Unit 7 5 Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah meja dan kursi, maka dalam rangka memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus ini, yang merupakan variabel keputusan adalah meja (X1) dan kursi (X2). Setelah kita mendefinisikan variabel keputusan, maka langkah selanjutnya adalah menuliskan secara matematis fungsi tujuan dan fungsi kendala. 1. Fungsi Tujuan Tujuan perusahaan adalah maksimisasi keuntungan, sehingga kita dapat menuliskan fungsi tujuan sebagai berikut : Atau secara matematis dapat dituliskan : Maksimisasi Z = $7X1 + $5X2 2. Fungsi kendala Berkaitan dengan sumber daya yang digunakan, perusahaan tidak bisa memperkirakan secara tepat kebutuhan sumber daya yang digunakan untuk mencapai keuntungan tertentu. Biasanya perusahaan menyediakan sumber daya tertentu yang merupakan kebutuhan minimum atau maksimum. Kondisi seperti ini secara matematis diungkapkan dengan pertidaksamaan. Kendala yang pertama adalah waktu yang tersedia di departemen pembuatan. Total waktu yang diperlukan untuk pembuatan X1 (meja) dimana untuk membuat satu unit meja diperlukan waktu 4 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) dimana untuk membuat satu unit kursi diperlukan waktu 3 jam kerja adalah 240 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi : Seperti halnya pada kendala yang pertama, maka pada kendala kedua dapat diketahui bahwa total waktu yang diperlukan untuk pengecatan X1 (meja) dimana untuk mengecat satu unit meja diperlukan waktu 2 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) dimana untuk mengecat satu unit kursi dibutuhkan waktu 1 jam kerja adalah 100 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi : Salah satu syarat yang harus dipenuhi dalam Linear Programming adalah asumsi nilai X1 dan X2 tidak negatif. Artinya bahwa : X1 ≥ 0 (jumlah meja yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol) X2 ≥ 0 (jumlah kursi yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol) Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai berikut: Fungsi tujuan : Maksimisasi Z = $7X1 + $5X2. Fungsi kendala : 4 X1 + 3 X2 ≤ 240 (kendala departemen pembuatan) 2X1 + 1 X2 ≤ 100 (kendala departemen pengecatan) X1 ≥ 0 (kendala non negatif pertama) X2 ≥ 0 (kendala non negatif kedua) PENYELESAIAN LINEAR PROGRAMMING SECARA GRAFIK Kasus Krisna Furniture tersebut akan kita selesaikan dengan metode grafik. Keterbatasan metode grafik adalah bahwa hanya tersedia dua sumbu ordinat, sehingga tidak bisa digunakan untuk menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel keputusan. Langkah pertama dalam penyelesaian dengan metode grafik adalah menggambarkan fungsi kendalanya. Untuk menggambarkan kendala pertama secara grafik, kita harus merubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan seperti berikut. Kendala ini akan memotong salah satu atau kedua sumbu. Sebagaimana halnya yang sudah kita pelajari dalam aljabar, bahwa untuk menggambarkan fungsi linear yang tidak lain merupakan garis lurus, maka kita akan mencari titik potong garis tersebut dengan kedua sumbu. Suatu garis akan memotong salah satu sumbu apabila nilai variabel yang lain sama dengan nol. Dengan demikian kendala pertama akan memotong X1, pada saat X2 = 0, demikian juga kendala ini akan memotong X2, pada saat X1 = 0. Kendala I: 4 X1 + 3 X2 = 240 • Memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0 4 X1 + 0 = 240 X1 = 240/4 X1 = 60. • Memotong sumbu X2 pada saat X1 = 0 0 + 3 X2 = 240 X2 = 240/3 X2 = 80 Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (60, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 80). Kendala II: 2 X1 + 1 X2 = 100 • Memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0 2 X1 + 0 = 100 X1 = 100/2 X1 = 50 • Memotong sumbu X2 pada saat X1 = 0 0 + X2 = 100 X2 = 100 Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (50,0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0,100). Titik potong kedua kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi • 2 X1 + 1 X2 = 100 X2 = 100 - 2 X1 • 4 X1 + 3 X2 = 240 4 X1 + 3 (100 - 2 X1) = 240 4 X1 + 300 - 6 X1 = 240 - 2 X1 = 240 – 300 - 2 X1 = - 60 X1 = -60/-2 = 30 • X2 = 100 - 2 X1 X2 = 100 – (2*30) X2 = 100 - 60 X2 = 40 Sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (30,40). Tanda ≤ pada kedua kendala ditunjukkan pada area sebelah kiri dari garis kendala. Sebagaimana nampak pada Peraga 1. 1, feasible region (area layak) meliputi daerah sebelah kiri dari titik A (0; 80), B (30; 40), dan C (60; 0). Untuk menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan, yaitu : 1. dengan menggunakan garis profit (iso profit line) 2. dengan titik sudut (corner point) Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan sampai menyinggung titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis profit, kita mengganti nilai Z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 7 (koefisien X1) dan 5 (koefisien X2) adalah 35. Sehingga fungsi tujuan menjadi 35 = 7 X1 + 5 X2. Garis ini akan memotong sumbu X1 pada titik (5,0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0,7). Dari Peraga 1. 2 dapat dilihat bahwa iso profit line menyinggung titik B yang merupakan titik terjauh dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Untuk mengetahui berapa nilai X1 dan X2, serta nilai Z pada titik B tersebut, kita mencari titik potong antara kendala I dan kendala II (karena titik B merupakan perpotongan antara kendala I dan kendala II). Dengan menggunakan eliminiasi atau substitusi diperoleh nilai X1 = 30, X2 = 40. dan Z = 410. Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan perusahaan yang akan memberikan profit maksimal adalah memproduksi X1 sebanyak 30 unit, X2 sebanyak 40 unit dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar 410. Peraga 1. 2. Iso profit line Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita harus mencari nilai tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari peraga 1, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0,0), A (0,80), B (30,40), dan C (50,0). Keuntungan pada titik O (0,0) adalah (7 x 0) + (5 x 0) = 0. Keuntungan pada titik A (0,80) adalah (7 x 0) + (5 x 80) = 400. Keuntungan pada titik B (30,40) adalah (7 x 30) + (5 x 40) = 410. Keuntungan pada titik C (50,0) adalah (7 x 50) + (5 x 0) = 350. 2. Fungsi Tujuan Minimisasi Valentine Meal adalah makanan yang terbuat dari Jagung dan Kacang. Makanan ini memiliki kandungan sekurang-kurangnya 30% Protein dan Serat maksimal 5% sebagaimana tampak pada tabel berikut ini. Kandungan Gizi Perkilogram Protein Serat Biaya Jagung 0.09 0.02 0.30 Kacang 0.60 0.06 0.90 Valentine Meal ingin menentukan biaya terendah dari makanan tersebut. Karena makanan tersebut terbuat dari Jagung dan Kacang, variabel keputusan untuk model tersebut dapat dirumuskan seperti di bawah ini : J = banyaknya jagung yang digunakan untuk campuran makanan K= banyaknya kacang yang digunakan untuk campuran makanan Fungsi tujuan adalah meminimumkan biaya dari campuran makanan, yang dirumuskan seperti di bawah ini : Minimize Z = 0,3 J + 0,9 K Kendala dari model mencerminkan jumlah yang diperlukan dan persyaratan kandungan gizi yang diperlukan. Karena Valentine Meal memerlukan 800 kg makanan per hari, kendala tersebut bisa dirumuskan demikian: J + K ≥ 800 Kandungan protein dalam jagung (J) dan kacang (K) adalah (0,09 J + 0,6 K). Kandungan protein ini sekurang-kurangnya 30% dari campuran makanan. Oleh karena itu persamaannya menjadi demikian 0,09 J + 0,6 K ≥ 0,3 (J + K) 0,09 J + 0,6 K ≥ 0,3 J + 0,3K (0,3 J - 0,09 J) + (0,3K - 0,6 K) ≤ 0 0,21 J - 0,3 K ≤ 0 Dengan cara yang sama, kendala dari kandungan serat bisa dirumuskan demikian: 0,02 J + 0,06 K ≤ 0,05 (J + K) 0,02 J + 0,06 K ≤ 0,05 J + 0,05 K (0,05 J - 0,02 J) + (0,05K - 0,06 K) ≥ 0 0,03 J – 0,01 K ≥ 0 Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai berikut: • Fungsi tujuan Minimize Z = 0,3 J + 0,9 K • Fungsi kendala : J + K ≥ 800 (kendala kebutuhan makanan per hari) 0,21 J - 0,3 K ≤ 0 (kendala kandungan protein) 0,03 J – 0,01 K ≥ 0 (kendala kandungan serat) J ≥ 0 (kendala non negatif pertama) K ≥ 0 (kendala non negatif kedua) Langkah pertama untuk menyelesaikan kasus Valentine Meal adalah dengan menggambarkan fungsi kendala sebagaimana tampak pada Peraga 1.3. Peraga 1. 3. Grafik Valentine Meal Titik potong ketiga kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi. Titik potong kendala 1 (Protein: 0.21 J – 0.3 K ≤ 0) dan 3 (Kebutuhan per hari: 1 Jagung + 1 Kacang ≥ 800) 0.21 J - 0.3 K = 0 0.21J = 0.3 K J = (0.3/ 0.21) K J + K = 800 (0.3 / 0.21) K + K = 800 2,43 K = 800 K = 800/2,43 K = 329,22 dibulatkan menjadi 329. J + 329,22 = 800 J = 470,78 dibulatkan menjadi 471. Jadi, titik potong kendala 1 (Protein: 0.21 J – 0.3 K ≤ 0) dan 3 (Kebutuhan per hari: 1 Jagung + 1 Kacang ≥ 800) terletak pada titik B (471, 329). Titik potong kendala 2 (Serat: 0.03 J – 0.01 K ≥ 0) dan kendala 3 (Kebutuhan per hari: 1 J + 1 K ≥ 800) 0.03 J – 0.01 K = 0 0.03 J = 0.01 K J = (0.01/ 0.03) K J = 0.33 K J + K = 800 0.33 K + K = 800 1.33 K = 800 K = 800 / 1.33 K = 600 J + 600 = 800 J = 200 Jadi titik potong kendala 2 (Serat: 0.03 J – 0.01 K ≥ 0) dan kendala 3 (Kebutuhan per hari: 1 J + 1 K ≥ 800) terletak pada titik B (200, 600). Tanda ≥ pada kendala Serat dan Kebutuhan per hari ditunjukkan pada area sebelah kanan dari garis kendala. Sebagaimana nampak pada Peraga 1.3, feasible region (area layak) meliputi daerah sebelah kanan dari titik A (200; 600), B (471; 329), atau di sebelah kanan kendala II dan III serta di sebelah kiri kendala I. Untuk menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu 1. dengan menggunakan garis biaya (iso cost line) 2. dengan titik sudut (corner point) Penyelesaian dengan menggunakan isocost line adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kiri sampai menyinggung titik terdekat dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai Z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 0.3 (koefisien J) dan 0.9 (koefisien K) adalah 270. Sehingga fungsi tujuan menjadi 270= 0.3 J + 0.9 K. Garis ini akan memotong sumbu J pada titik (900, 0) dan memotong sumbu K pada titik (0, 300). E. CONTOH PERUSAHAAN Pengendalian Biaya Operasi di Kellog’s Kellog merupakan produsen sereal terbesar di dunia dan juga merupakan produsen utama makanan pelengkap dengan penjualan keseluruh dunia mencapai $7 triliun. Perusahaan ini mulai dengan memproduksi Corn Flakes Kellog’s pada tahun 1906 dan selama bertahun-tahun mengembangkan lini produksi lainnya termasuk Rice Krispies dan Corn Pops, dan makanan pelengkap seperti Pop-Tarts dan Nutri Grain sereal batangan. Kellog’s menjalankan 5 pabrik di Amerika dan Kanada serta 7 pusat distribusi, dan memiliki perjanjian dengan 15 perusahaan untuk mengemas atau memproduksi sebagian dari produk Kellog’s. Kellog’s harus mengkoordinasikan proses produksi, pengemasan, persediaan, dan distribusi untuk hampir 80 produk sereal pada berbagai fasilitas ini. Selama lebih dari satu decade, Kellog’s telah menggunakan model program linear berskala besar yang dinamakan Kellog Planning System (KPS) untuk merencanakan keputusan produksi, persediaan, dan distribusi mingguannya. Variable keputusan dalam model mencakup jumlah tiap unit produk mencakup jumlah tiap unit produk yg dikemas, batasan pengimbang untuk memastikan bahwa semua produk yang diproduksi juga akan dikemas selama seminngu tersebut,batasan persediaan, dan persyaratan persediaan di tingkat yg aman. Tujuan model adalah minimisasi biaya. Kellogg’s juga telah mengembangkan versi taktis dari model linear program operasional dasar ini untuk perencanaan jangka panjang yaitu 12 sampai 24 bulan ke depan. Model KPS ini membuat Kellog’s dapat menghemat $ 4,5 juta melalui pengurangan biaya produksi, persediaan dan distribusi pada tahun 1995, dan diperkirakan KPS telah menghemat beberapa juga dolar lagi sejak pertengahan 1990. Versi taktis dari KPS saat ini membantu perusahaan mengkonsolidasi kapasitas produksi dengan perkiraan penghematan hamper sebesar $ 40 juta. Sumber: G. Brown, J. Keegan, b. Vigus, and K. Wood, “The Kellogg Company optimize Production, Inventory, and Distribution,” Interface 31, No. 6 (November-Desember 2001): 1-15. BAB III KESIMPULAN • Program linear adalah suatu cara matematis yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pengalokasian sumberdaya yang terbatas untuk mencapai optimasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergabung pada sejumlah variabel input. • Yang termasuk dalam komponen model program linear adalah variable keputusan, fungsi tujuan, dan batasan model. • Asumsi-asumsi dasar dalam program linear adalah : a) Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, cara ini dapat diperiksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar). b) Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi. c) Sifat aditivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang di antara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat aditivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat aditivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. d) Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan. e) Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstan. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu. • Terdapat dua fungsi dalam program linear metode grafik, yaitu fungsi maksimisasi dan fungsi minimisasi. Fungsi maksimisasi lebih menekankan kepada berapa banyak produk yang harus dihasilkan untuk mencapai laba maksimal. Sedangkan, untuk fungsi minimisasi lebih menekankan kepada minimalisasi biaya. DAFTAR PUSTAKA Buku : Siringoringo, Hotniar. Seri Teknik Riset Operasional. Pemrograman Linear. Penerbit Graha Ilmu. Yogyakarta. 2005. Non-Buku : http://e-je.blogspot.com/2009/02/program-linier.html (Diakses pada tanggal 2 April 2011) http://eprints.undip.ac.id/5784/1/PEMROGRAMAN_LINEAR_-_ATIK_MAWARNI.pdf (Diakses pada tanggal 3 April 2011) http://id.wikipedia.org/wiki/Pemrograman_linear (Diakses pada tanggal 2 April 2011) http://ko2smath06.wordpress.com/2011/03/11/pemrograman-linear/ (Diakses pada tanggal 2 April 2011) http://mm.ustjogja.ac.id/download/HANDOUT2.ppt (Diakses pada tanggal 3 April 2011) http://niiqziie.blogspot.com/2011/02/linear-programming.html (Diakses pada tanggal 3 april 2011) http://parjono.wordpress.com/2007/09/04/rumus-matematika-program-linear/ (Diakses pada tanggal 2 April 2011) http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/14095/1/10E00234.pdf (Diakses pada tanggal 2 April 2011) http://rosihan.lecture.ub.ac.id/files/2009/07/risetoperasi-2-linear-programming-metode-grafik.ppt (Diakses pada tanggal 2 April 2011) http://www.belajar-matematika.com/ringkasan_SMA/BAB%20XVII%20Program%20Linear.pdf (Diakses pada tanggal 3 April 2011) http://www.aguschandra.com/search/tujuan-pemanfaatan-program-linear/ (Diakses pada tanggal 2 April 2011) http://yayan-industri.blogspot.com/2009/12/pemrograman-linier.html (Diakses pada tanggal 2 April 2011)